Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - 1 = 0
Chứng minh phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình ; lập phương trình bậc hai nhận x13 -2mx12 + m2x1 - 2 và x23 - 2mx22+ m2x2 - 2 là nghiệm
Cho phương trình x 2 − 2 m x + m 2 − 1 = 0 1 , với m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m= 2
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 và x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2 là nghiệm.
1) Với m= 2 PT trở thành x 2 − 4 x + 3 = 0
Giải phương trình tìm được các nghiệm x = 1 ; x = 3.
2) Ta có Δ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 , ∀ m .
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Từ giả thiết ta có x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 = 0 , i = 1 ; 2. x i 3 − 2 m x i 2 + m 2 x i − 2 = x i x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 + x i − 2 = x i − 2 , i = 1 ; 2.
Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có x 1 + x 2 = 2 m ; x 1 . x 2 = m 2 − 1
Ta có
x 1 − 2 + x 2 − 2 = 2 m − 4 ; x 1 − 2 x 2 − 2 = x 1 x 2 − 2 x 1 + x 2 + 4 = m 2 − 1 − 4 m + 4 = m 2 − 4 m + 3
Vậy phương trình bậc hai nhận x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 , x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2 là nghiệm là x 2 − 2 m − 4 x + m 2 − 4 m + 3 = 0.
Cho phương trình bậc hai x2 + 2mx + m2+2m + 3 = 0, với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt X1. X1, thỏa: x13 + x23 = 108.
Δ=(2m)^2-4(m^2+2m+3)
=4m^2-4m^2-8m-12=-8m-12
Để PT có 2 nghiệm pb thì -8m-12>0
=>-8m>12
=>m<-3/2
x1^3+x2^3=108
=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=108
=>(-2m)^3-3(m^2+2m+3)*(-2m)=108
=>-8m^3+6m(m^2+2m+3)=108
=>-8m^3+6m^3+12m^2+18m-108=0
=>-2m^3+12m^2+18m-108=0
=>-2m^2(m-6)+18(m-6)=0
=>(m-6)(-2m^2+18)=0
=>m=-3
Cho phương trình bậc hai: x2 + 2mx + m2 + 2m + 3 = 0, với là m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x13+ x23 = 108
Giúp mình với ạ
Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi :
\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)
\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)
Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)
Có \(x_1^3+x_2^3=108\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)
\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)
\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)
Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn
Cho phương trình bậc hai: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 ( m: tham số ) (1)
a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1). Tìm m để ( x1 – x2 )2 = 32
a: \(\text{Δ }=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-5\right)=4m^2-8m+20\)
\(=4m^2-8m+4+16=\left(2m-2\right)^2+16>0\)
=>(1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b: (x1-x2)^2=32
=>(x1+x2)^2-4x1x2=32
=>\(\left(2m\right)^2-4\left(2m-5\right)=32\)
=>4m^2-8m+20-32=0
=>4m^2-8m-12=0
=>m^2-2m-3=0
=>m=3 hoặc m=-1
Cho phương trình x2 + 2mx – 1 = 0 ( m là tham số ) (2)
a/ Chứng minh phương trình(2) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm m để x12 + x22 – x1x2 = 7
a: a=1; b=2m; c=-1
Vì a*c<0 nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt
b: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)
=>\(\left(-2m\right)^2-3\cdot\left(-1\right)=7\)
=>4m^2=7-3=4
=>m^2=1
=>m=1 hoặc m=-1
Cho phương trình x2-3x+m-2=0 với m là tham số.Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn x13-x23+9x1x2=81
Cho phương trình x^2 -2mx-(m^2 +4)=0 (1), m là tham số.
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1. Tìm m để x1^2 + x2^2 =20
Ta có: \(\Delta'=2m^2+4>0\forall m\)
Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m^2-4\end{matrix}\right.\)
Mặt khác: \(x_1^2+x_2^2=20\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)
\(\Rightarrow4m^2+2m^2-12=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
Cho phương trình: x2 - 2x - m2 + 1 = 0. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (2x1 - x2).(x13 - 2x12 - m2x1 + 2x2)= -3
\(\Delta'=1+m^2-1=m^2>0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne0\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2+1\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:
\(x_1^2-2x_1-m^2+1=0\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1+x_1=0\)
\(\Rightarrow x_1^3-2x_1^2-m^2x_1=-x_1\)
Thế vào bài toán:
\(\left(2x_1-x_2\right)\left(-x_1+2x_2\right)=-3\)
\(\Leftrightarrow-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2=-3\)
\(\Leftrightarrow-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2=-3\)
\(\Leftrightarrow-8+9\left(-m^2+1\right)=-3\)
\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Rightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)
Cho phương trình: x2-(2m-1)x+m-1=0
a) chứng minh rằng phương trình luôn cố 2 nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m
b) tìm tất cẩ các giá trị của m để x13+x23=2m2-m
a: Δ=(2m-1)^2-4(m-1)
=4m^2-4m+1-4m+4
=4m^2-8m+5
=4m^2-8m+4+1=(2m-2)^2+1>=1>0 với mọi m
=>PT luôn có 2 nghiệm với mọi m
b: x1^3+x2^3=2m^2-m
=>(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=2m^2-m
=>(2m-1)^3-3(m-1)(2m-1)=2m^2-m
=>8m^3-12m^2+6m-1-3(2m^2-3m+1)-2m^2+m=0
=>8m^3-14m^2+7m-1-6m^2+9m-3=0
=>8m^3-20m^2+16m-4=0
=>m=1/2 hoặc m=1